@LeGrandDODOM I get:
$$\begin{aligned}
f(\vec a+\vec h)g(\vec a+\vec h)-f(\vec a)g(\vec a)=g(\vec a)f'(\vec a)\vec h+f(\vec a)g'(\vec a)\vec h+f'(\vec a)\vec h(o(\Vert \vec h\Vert)+o(\Vert\vec h\Vert)g'(\vec a)\vec h+ o(\Vert\vec h\Vert)
\end{aligned}$$
How can I show that $f'(\vec a)\vec h(o(\Vert \vec h\Vert))=o(\Vert\vec h\Vert)?$ Should I expand it as follows?:
$$
f'(\vec a)\vec h(o(\Vert\vec h\Vert))=h_1D_1f(\vec a)o(\Vert\vec h\Vert)+\dots+h_nD_nf(\vec a)o(\Vert\vec h\Vert).
$$