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\begin{document}
\begin{theorem}
Sia $f(x,y,y')\in \mathcal{C}^2([a,b]\times\R^2)$ rispetto a tutte e tre le variabili; inoltre sia $y=y(x)\in \mathcal{C}^1([a,b])$ soluzione dell'equazione di Eulero associata ad $f$, sia cioè
\[f_y(x,y(x),y'(x))=\dfrac d{dx}f_{y'}(x,y(x),y'(x))\qquad\forall x\in[a,b].\]
Indicato poi con $A=\{x\in[a,b]\colon\,f_{y'y'}(x,y(x),y'(x))\ne0\}$, allora $y=y(x)$ è di classe $\mathcal{C}^2$ su $A$ e per ogni $x\in A$ si ha