$$\begin{split}
&(ab^{-1})(cd^{-1})\\
=&((ab^{-1})c)d^{-1}\\
=&(c(ab^{-1}))d^{-1}\\
=&((ca)b^{-1})d^{-1}\\
=&((ac)b^{-1})d^{-1}\\
=&(ac)(b^{-1}d^{-1})\\
=&((ac)1)(b^{-1}d^{-1})\\
=&((ac)((bd)(bd)^{-1}))(b^{-1}d^{-1})\\
=&((ac)((db)(bd)^{-1}))(b^{-1}d^{-1})\\
=&((ac)((bd)^{-1}(db)))(b^{-1}d^{-1})\\
=&(((ac)(bd)^{-1})(db))(b^{-1}d^{-1})\\
=&((ac)(bd)^{-1})((db)(b^{-1}d^{-1}))\\
=&((ac)(bd)^{-1})(d(b(b^{-1}d^{-1})))\\
=&((ac)(bd)^{-1})(d((bb^{-1})d^{-1}))\\
=&((ac)(bd)^{-1})(d(1d^{-1}))\\
=&((ac)(bd)^{-1})(d(d^{-1}1))\\