The Lanczos algorithm is an iterative algorithm devised by Cornelius Lanczos that is an adaptation of power methods to find the most useful eigenvalues and eigenvectors of an order linear system with a limited number of operations, , where is much smaller than . Although computationally efficient in principle, the method as initially formulated was not useful, due to its numerical instability. In 1970, Ojalvo and Newman showed how to make the method numerically stable and applied it to the solution of very large engineering structures subjected to dynamic loading. This was achieved using a method...

Der QR-Algorithmus ist ein numerisches Verfahren zur Berechnung aller Eigenwerte und eventuell der Eigenvektoren einer quadratischen Matrix. Das auch QR-Verfahren oder QR-Iteration genannte Verfahren basiert auf der QR-Zerlegung und wurde im Jahre 1961–1962 unabhängig voneinander von John G. F. Francis und Wera Nikolajewna Kublanowskaja eingeführt. Ein Vorläufer war der LR-Algorithmus von Heinz Rutishauser (1958), der aber weniger stabil ist und auf der LR-Zerlegung basiert. Oft konvergieren die Iterierten aus dem QR-Algorithmus gegen die Schur-Form der Matrix. Das originale Verfahren ist recht…

In numerical linear algebra, the QR algorithm is an eigenvalue algorithm: that is, a procedure to calculate the eigenvalues and eigenvectors of a matrix. The QR transformation was developed in the late 1950s by John G.F. Francis (England) and by Vera N. Kublanovskaya (USSR), working independently. The basic idea is to perform a QR decomposition, writing the matrix as a product of an orthogonal matrix and an upper triangular matrix, multiply the factors in the reverse order, and iterate. == The practical QR algorithm == Formally, let A be a real matrix of which we want to compute the eigenvalues...