$$I
=\begin{pmatrix} \alpha & \beta_\bot \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha & \beta_\bot \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} \beta' \\ \alpha_\bot' \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} \beta' \\ \alpha_\bot' \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} \alpha & \beta_\bot \end{pmatrix}\left[\begin{pmatrix} \beta' \\ \alpha_\bot' \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha & \beta_\bot \end{pmatrix} \right]^{-1}\begin{pmatrix} \beta' \\ \alpha_\bot' \end{pmatrix}$$