Algebra chat met Jeroen en Kasper - 2013-04-01 (page 1 of 4)

Jeroen

2:50 PM

hoi lekkerding

Kasper

oopz

dit is openbaar he :p

Jeroen

care?

ben jij nou de bangescheiterd of ik?

Kasper

:p

Jeroen

nou, kom op, jas me door die theorie

Kasper

Laat $(G,\circ,e)$ een groep zijn en $X$ een verzameling. We zeggen dat $G$ werkt op $X$ als er een afbeelding
\[G\times X \to X \quad (g,x) \mapsto g.x \]

\begin{alignat*}{4}
&\text{(W1)}\quad &&e.x=x &&\forall x\in X\\
&\text{(W2)} && g.(h.x)=(g\circ h).x \quad&&\forall g,h\in G,x \in X\\
\end{alignat*}

Dit is hoe iris het doet.

Met $.$ voor werking.

En $\circ$ voor bewerking

van de groep.

Jeroen

2:59 PM

dat doen ze in het boek dus andersom

Kasper

In het boek, doen ze niks voor bewerking van de groep.

En soms doen ze ook niks voor een werking.

Jeroen

dat klopt

Kasper

$.$ gebruik je normaal gesrpoken niet.

Dus dat is wel handig.

Online gebruiken ze ook wel ^, maar op wiki doen ze ook $.$

Jeroen

gewoon conscencieus blijven gebruiken.

Kasper

conscencieus ?

Jeroen

3:02 PM

weetikveel hoe je dat spel

Kasper

Okay, maar hij zegt dus dat $X→X:x↦g.x$ een bijectie is

onder die definitie.

Jeroen

consciëntieus

Kasper

Ik heb het even iris stijl uitgebreid bewezen.

Laat $G$ een groep zijn die werkt op een verzameling $X$. Definieer voor elke $g\in G$ de afbeelding:
$$\sigma _g:X\to X:x\mapsto g.x$$
Bewijs dat $\sigma _g\in S(X)$

Waarbij $g.x$ dus de "functiewaarde" van de werking is van $G$ op $X$.

Jeroen

uhu

Kasper

Herinner dat $S(X)$ de verzameling van bijectieve afbeeldingen is van $X\to X$.

Jeroen

3:05 PM

dus injectief surjectief aantonen?

Kasper

Om te bewijzen dat iets een bijectieve afbeelding is, kunnen we bewijzen dat de inverse afbeelding bestaat.

Jeroen

of dat

Kasper

Claim: $(\sigma _g)^{-1}=\sigma _{g^{-1}}$

Als $x\in X$, dan
\begin{align*}
x\overset{\sigma _g}{\mapsto} g.x \overset{\sigma_{g^{-1}}}{\mapsto} g^{-1}.(g.x) &=(g^{-1} \circ g).x &&(\text{W2)}\\
&=e.x \\
&=x &&\text{(W1)}
\end{align*}

Jeroen

jup

Kasper

Waar je vooral de hele tijd op moeten letten, is dat $σ_g$ als domein waarden van $X$ heeft en $λ_g$ als domein waarden van $G$.

Dus je krijgt zeg maar $σ_g.x$ en $λ_g (h)$

Waarbij $x∈X$ en $h∈G$

Jeroen

3:07 PM

g in G ?

niet h denk ik...

Kasper

$h∈G$

Jeroen

waar gebruik je die h ?

daar

i see

Kasper

Oopz wat foutjes:$σ_g(x)=g.x$ en $λ_g(h)=g\circ h$ en $x∈X$ en $h∈G$

Jeroen

beetje verwarrend, maar ok.

Kasper

Ja het is ook verwarrend.

Claim: $(\sigma _g)^{-1}=\sigma _{g^{-1}}$

Als $x\in X$, dan
\begin{align*}
x\overset{\sigma _g}{\mapsto} g.x \overset{\sigma_{g^{-1}}}{\mapsto} g^{-1}.(g.x) &=(g^{-1} \circ g).x &&(\text{W2)}\\
&=e.x \\
&=x &&\text{(W1)}
\end{align*}

Dus $\sigma _g{^{-1}} \circ \sigma _g=\text{Id}_X$. Voor $x\in X$, zien we ook dat:

\begin{align*}
x\overset{\sigma _{g^{-1}}}{\mapsto} g^{-1}.x\overset{\sigma_{g}}{\mapsto} g.(g^{-1}.x) &=(g \circ g^{-1}).x &&(\text{W2)}\\
&=e.x \\
&=x &&\text{(W1)}
\end{align*}

Jeroen

3:13 PM

jup.

Kasper

Dus $\sigma _g \circ \sigma _{g^{-1}}=\text{Id}_X$.

$■$

Jeroen

als je dit nu ergens netjes wil hebben

@Kasper die inverse ondaraan staat verkeerd. ;p

Kasper

Nee toch ? Eerst $σ_g$ en daarna $σ_{g^{-1}}$

Jeroen

klopt

maar de latex

de inverse staat te hoog. xd

maar ik dacht

als je dit wss netjes gaat opslaan ergens, dan staat het iig perfect. ;p

Kasper

ooooh :P

idd

Dus $\sigma _{g^{-1}} \circ \sigma _g=\text{Id}_X$. Voor $x\in X$, zien we ook dat:

Jeroen

3:16 PM

uhu.

maar even

die werking

is eigenlijk gewoon de "bewerking" van de afbeelding.

die je definieert als het ware.

Kasper

Soort van. Maar je moet bedenken dat je vaak voor $σ_g=g.x$ niet echt een bewerking krijgt

Vaak heb je $σ_g=g.x=g(x)$

waar $g$ dus gewoon een functie is.

van $X→X$

Jeroen

ja.

Kasper

bijvoorbeeld als je hebt $D_4$ dan en neem $g=ρ$ een rotatie van 90 graden

Jeroen

damn, hadden ze notatie niet slimmer kunnen uitvinden ? xd

Kasper

dan heb je dat $σ_ρ : ℝ^2 → ℝ^2 : x↦ρ.x=ρ(x)$

dus dan is $σ_ρ$ eigenlijk gewoon $ρ$

Jeroen

3:20 PM

ja, idd.

Kasper

en bij permutaties hetzelfde

Jeroen

@Kasper dus daar, moet je eigenlijk ook hebben: $\sigma _g (x) = g(x)$

Kasper

ja idd. stom

Jeroen

oké, ik begin hem te voelen.

Kasper

en bij $S_n$ heb je dat die werkt op $\{1,...n \} $

Jeroen

3:21 PM

(nee, niet je pik)

Kasper

:P

Dus dan heb je $g.x=g(x)$ weer

Jeroen

wat werkt waarop?

Kasper

$S_n × \{1,...n\} →\{1,..,n\} :(σ,x) ↦ σ.x=σ(x)$

dus dan heb je dat $\{1,...,n \} →\{1,...,n \} : x↦ σ(x)$

beetje verwarrend, begrijp ik

Jeroen

maar dan ga je dus nu

over van een afbeelding

naar een element

maar die afbeelding

is weer een permutatie eigenlijk

WOW

dit is zo duidelijk wat ik nu probeer te vertellen. xD

hahahahahahahahah

Kasper

:p

okay, maar volgende stelling doen

Laat $(G,\cdot ,e)$ een groep zijn die werkt op een verzameling $X$. Merk op dat $(S(X),\circ, \text{Id}_X)$ ook een groep is. Definieer de afbeelding:
$$\varphi:G\to S(X):g\mapsto \varphi(g)=\sigma _g$$ Bewijs dat $\varphi$ een homomorfisme is.

dus nu heb je $g\overset{\varphi}{\mapsto}(X→X:x↦g.x)$

Jeroen

3:26 PM

wacht even

nu bedoel je

in de eerste regel met $\circ$ gewoon compositie, right?

Kasper

compositie van twee afbeeldingen van $S(X)$

Jeroen

ja.

Kasper

en $⋅$ voor $G$

Jeroen

en .

is de werking ?

Kasper

$.$ voor de werking

ja

Jeroen

3:27 PM

xd

heeeerlijk.

Kasper

hahaha, ja, gerard vind het niet nodig om daar verschillende symbolen voor in te voeren

maar iris begrijpt dat het wel handig is als een nieuw concept word geinitroduceerd

Jeroen

ho ho

$g \mapsto \varphi (g) = \sigma _g$

Kasper

ja ?

Jeroen

wat is sigma g?

een afbeelding in S(X)

Kasper

Laat $G$ een groep zijn die werkt op een verzameling $X$. Definieer voor elke $g\in G$ de afbeelding:
$$\sigma _g:X\to X:x\mapsto g.x$$
Bewijs dat $\sigma _g\in S(X)$

Jeroen

3:30 PM

oké.

Kasper

Laat $(G,\cdot ,e)$ een groep zijn die werkt op een verzameling $X$. Merk op dat $(S(X),\circ, \text{Id}_X)$ ook een groep is. Definieer de afbeelding:
$$\varphi:G\to S(X):g\mapsto \varphi(g)=\sigma _g$$ Bewijs dat $\varphi$ een homomorfisme is.
$$g\overset{\varphi}{\mapsto}(X→X:x↦g.x)$$

$✓$ ?

Jeroen

uhu

Kasper

Laat $g,h\in G$, we gaan bewijzen dat $\varphi(g) \circ \varphi(h)=\varphi(g \cdot h)$.

Jeroen

ja

Kasper

We weten dat $\varphi(g) \circ \varphi(h)=\sigma_g \circ \sigma_h$. Dit is een afbeelding van $X\to X$. Voor $x \in X$ geldt:

$$\sigma_g \circ \sigma_h (x)=\sigma_g(\sigma_h(x))=\sigma_g(h.x)=g.(h.x)=(g\cdot h).(x)=\sigma_{g\cdot h}(x)$$

Jeroen

3:31 PM

jep

Kasper

waar we dus W2 gebruiken

Jeroen

uhu

Kasper

Dus $\varphi(g) \circ \varphi(h)=\sigma_g \circ \sigma_h=\sigma_{g\cdot h}=\varphi(g \cdot h)$

Jeroen

jup.

Kasper

$■$

Laat $\varphi:G\to S(X)$ een homomorfisme. Bewijs dat
$$G \times X \to X:(g,x) \mapsto g.x=(\varphi(g))(x)$$
een werking is van $G$ op $X$.

$\varphi(g) : X→X : x↦g.x$

Leef je nog, of heb ik je overloaded met latex symbolen ?

Jeroen

3:35 PM

beetje

Kasper

ik kan me voorstellen

Jeroen

ik zat wel even doelloos uit het raam te staren

Kasper

even laatste bewijs nog ?

Jeroen

ja, ik moet het nog even latgen bezinken

Kasper

Laat $\varphi:G\to S(X)$ een homomorfisme. Bewijs dat
$$G \times X \to X:(g,x) \mapsto g.x=(\varphi(g))(x)$$
een werking is van $G$ op $X$.

We schijven voor het gemak $\varphi(g)(x)$ als we bedoelen $(\varphi(g))(x)$.

Merk op dat $\varphi$ een homomorfisme is van $G\to S(X)$.

En dus dat $\varphi(g)$ een bijectieve afbeelding is van $X\to X$.

Daarom is $\varphi(g)(x)$ dus een element van $X$.

Laat $x \in X$, dan
$$e.x=\varphi(e)(x)=(\text{Id}_X)(x)=x$$

Laat $g,h\in G$ en $x \in X$, dan
\begin{align*}
g.(h.x)&=g.[\varphi(h)(x)] \\
&=\varphi(g)[\varphi(h)(x)] \\
&=[\varphi(g)\circ \varphi(h)](x) \\
&= \varphi(g \cdot h)(x) \\
&=(gh).x
\end{align*}

Jeroen

3:41 PM

weetje, als ik het lees

prima

maar dan staat hier dus:
$g.x = ( \varphi (g))(x)$

daar raak ik zo van in de war.

Kasper

ja je zou ook kunnen zeggen $g.x=σ_g(x)$ want $σ_g=\varphi(g)$

het punt is dat $σ_g$ geen functie is met domein $G$ en $\varphi$ wel

maar ik begrijp je gevoel, ik had precies hetzelfde

Jeroen

ja, idd.

maar alles loopt door elkaar

je bent 3 dingen te gelijk aan het doen als het ware.

Kasper

idd

Jeroen

pff.

Kasper

Maar goed je hebt dus 3 belangrijke resultaten:
1. Laat $G$ een groep zijn die werkt op een verzameling $X$. Definieer voor elke $g\in G$ de afbeelding:
$$\sigma _g:X\to X:x\mapsto g.x$$
Bewijs dat $\sigma _g\in S(X)$

2. Laat $(G,\cdot ,e)$ een groep zijn die werkt op een verzameling $X$. Merk op dat $(S(X),\circ, \text{Id}_X)$ ook een groep is. Definieer de afbeelding:
$$\varphi:G\to S(X):g\mapsto \varphi(g)=\sigma _g$$ Bewijs dat $\varphi$ een homomorfisme is.

3. Laat $\varphi:G\to S(X)$ een homomorfisme. Bewijs dat

Jeroen

3:46 PM

ach, even onze hersencellen aan het werk zetten.

Kasper

Die laatste twee bewijzen dat er voor een werking een uniek homomorfisme bestaat.

Stelling 4: Een werking hoort bij een uniek homomorfisme:
$\varphi : G →S(X) : g ↦ ( X \to X: x↦ g.x )$

Volgt uit 2 en 3

$✓$ ?

Jeroen

uhu

Kasper

Voorbeelden doen ?