La dernière intégrale, c'est la définition de la CV faible qui est appliquée : tu as une fonction $ |\nabla u|^{p-2}\nabla u$ qui est fixe (ne dépend pas de $n$) et qui appartient à $L^q$, où $q$ est l'exposant conjugué de $p$. Comme $\nabla (u_n - u)$ tend faiblement vers $0$ dans $L^p$, ton intégrale tend vers $0$.

Fut surtout pas appliquer Hölder quand t'as de la convergence faible, tu vas juste obtenir des bornes mais pas de convergence.

Bonjour

mais la vous avez appliqué Holder

@Hachino

Non

Si tu préfères, soit \phi = |\nabla u|^{p-2}\nabla u

\phi ne dépend pas de n, \phi \in L^q, donc par définition de la CV faible (de \nabla u_n vers \nabla _u) dans L^p, l'intégrale tend vers $0$.

C'est une condition strictement moins forte que d'avoir la convergence en norme

Si on a la convergence en norme, l'intégrale tend en particulier vers $0$

Mais le contraire est faux en général - pense au lemme de Riemann-Lebesgue, qui n'est rien d'autre que de la convergence faible de la suite (exp(inx))

(Convergence faible dans pas mal de L^p à la fois)

(Hum, non en fait, convergence seulement dans L^1, pour les autres L^p c'est faux)

mais comment vous savais que \phi est dans L^q ?

Ben calcule la norme L^q de |\nabla u|^{p-2}\nabla u

Comme q = p/(p-1), c'est immédiat

ok, pour moi u_n converge faiblement vers u veut dire que <u_n-u,x^*> tend vers 0

pour tout x^* dans le dual de W^{1,p}_0

peut on appliquer cette definition ?

Pas tout à fait : ici, c'est \nabla u_n qui converge faiblement vers \nabla u dnas L^p (et pas >^(1,p), puisqu'on a dérivé)

*et pas W^(1,p)

on ne peut pas définir un crochet de dualité ?

Si, mais fais attention aux espaces dans lesquels tu le définis

j'ai dit que x^* est dans l'espace dual de W^{1,p}_0

\nabla u_n est dans L^p, pas W^(1,p)

Oui ok, mais ça marcherait si tu avais int_{\Omega} |\nabla u|^{p-2}\nabla u (u_n - u) dx

\nabla u_n en norme dans L^p est équivalente a la norme de u_n dans W^{1,p}_0

Dans ton cas, tu as un \nabla devant u_n - u, donc tu as une convergence faible dans un espace moins régulier (avec une dérivée en moins)

||\nabla (u_n-u)|| dans L^p est équivalente à ||u_n-u|| dans W^{1,p}_0

non ?

Si, bien sûr

regardez la solution qui ma été proposé

Donc la convergence faible de \nabla u_n a lieu dans L^p

Donc le crochet de dualité est défini dans la paire (L^p - dual de L^p) et le dual de L^p est L^q

سئم

?