I juste don't understand why $|||u_n|^{p-2}u_n||_{L^q}=||u_n||^{p-1}_{L^p}$ ? and i asked the question to a professor he told me that $f$ is bounded means that it sends bounded sets to bounded sets

@Vrouvrou : By definition, the $L^q$ norm is equal to $(\int | |u_n|^{p-2}u_n|^q)^{\frac 1q} $. But as $q = \frac{p}{p-1}$, the integrand is equal to $|u_n|^{p}$ and the integral is to the power of $\frac{p-1}{p}$, so that's a mere rewriting. Regarding $f$, okay, there's something more to do.

@Vrouvrou : Also, could you please tell me what are your assumptions on the limit $f^{\infty}$ ?

no assumptions on $f^{\infty}$, if $f$ sends bounded sets to bounded sets $||f||_{L^\infty}<\infty$ ?

@Vrouvrou : Sadly no, since any continuous function on $\mathbb{R}$ sends bounded sets to bounded sets... But this implies that, for $s$ in a, bounded set $f(x,s)$ remains bounded, since $x$ lies in $\Omega$, bounded.

but $s$ is in $\mathbb{R}$ it is not in a bounded set

@Hachino , hello

Hello

@Hachino we can use the limite,

Vrouvrou, which language do you speak apart from English ?

French and Arabic

J'me disais aussi que j'avais affaire à un francohpone. :)

mdr

et si j'utilise la définition de la limite

Bon, n'empêche que sans hypothèse en pus sur ton f^{oo}, ben tu peux rien faire.

Mais tu sais quoi sur cette limite f^oo, sinon ?

rien mon prof ma dit qu'elle est constante

....

Constante en quoi au fait, en x ?

Parce que bon, c'est un putain de bonne info ça, c'est pas "rien".

il suppose lui il m'a dit dire que lim(f(s)/|s|) =0 lorsque x tend vers l'infini (cas ou f dépend uniquement de s) est la meme chose que cette hypothése

Euh, x est dans Omega qui est a priori un ouvert borné de R^d, donc il nepeut pas tendre vers +infini.

Bon, on va essayer de comprendre un peu ce qu'il se passe.

Tu as f = f(x,s) avec x dans Omega, s dans R.

non non x ne tend pas vers l'infini

c'est s

sorry

Tu supposes que f est Caratheodory et que l'image par f d'un ensemble borné (en s et x) est encore borné

Ok

oui

Et tu me dis qu'en plus, f^oo(x) est une constante ?

dans l'article c'est pas précisé

il est dit

for almost every x in omega there exist

(Si t'as un lien vers l'article, c'est pas de refus.)

sciencedirect.com/science/article/pii/S0362546X96000223

Merci

l’hypothèse H

Ah fuck, paywall, je suis pas au labo -_-

Bon bah désolé, va falloir me réécrire ce que tu ls :/

sciencedirect.com.sci-hub.org/science/article/pii/…

Ah ouais, merci

pas de quoi

Ok, effectivement ils précisent rien sur f^oo, elle pourrait être infinie partout (mais on va supposer quenon).

je peux utiliser la définition de l limite

Minute, vu comme ils lécrivent, "bounded Carathéodory function", pour moi ça veut bien dire qu'il existe une constante universelle C telle que |f(x,s)| <= C pour tout (ou presque tout) x,s.

Ah bon

Du coup ç change tout, ça veut dire que ma première réponse était correcte (et simple en plus).

Ben euh... ouais ?

'Fin "bounded function", y'a pas 36 façons de l'interpréter.

mon prof ma dit nooooooooooon ça veux dire envoi les bornés dans les bornés

Mer il est fou, c'est archi faux.

Bornée c'est : "il existe un borne qui ne dépend pas du point en lequel tu calcules ta fonction".

mais dans un autre article

f est continue

et ils ont la meme limite

je cherche le lien

ac.els-cdn.com/S0022247X00967131/…

Oui, mais il y a deux hypothèses en plus :

a la page 13-14

1) g ne dépend plus de x cette fois

oui

2) g(t)/|t|^(p-1) -> 0 quand t -> + inf

Hypothèses que tu n'as pas dans le premier papier (celui avec bounded)

non je n'ai plus cette hypothèse

En fait, dans ce deuxième papier, tu as une hypothèse de bornitude qui est certes plus faible que si g était bornée comme dans le premier papier, mais assez restrictive pour faire marcher la preuve.

et le prof ma dit qu'elles sont pareilles

Donc je maintient ce que j'ai dit : pour ta question sur MO, tu as besoin de supposer que f est bornée en x et s.

ok

Oui, elles remplissent le même rôle (à savoir empêcher précisément de choisir des fonctions qui croissent trop vite, genre le s^N dans ma réponse avec N très grand).

et donc bounded veux dire borné

Oui

vous etes dans quel domaine svp ?

variationnelle, point fixe ,... ?

EDP

Avez vous déjà utilisé la théorie de Lusternik-Schnirelmann ?

s'il vous plait

Non, désolé

J'ai vu ta question, mais je ne saurais pas y répondre.

vous avez vu le premier papier

je veux lui appliquer la théorie de Lusternik -Schnirelmann

Bon courage alors. :)

et je galère parceque meme mon prof ne la maitrise pas

donc je suis seule je cherche d'autres personnes qui travaille avec

vous n'avez pas de profs au labo qui travaille avec cette théorie

?

Nope désolé, jamais entendu parler avant que tu postes ta question sur MO.

ok merci

merci pour ton aide

De rien, à plus. :)

@Hachino vous êtes la ?