Merci @Hamou, svp pour quoi on ne peut pas dire directement que $H_k(X)=\text{Im} r_*\oplus \ker r_*$ ?

Normalement on peut dire n'importe quoi, mais c'est la façon de dire qui compte: c-a-d on peut le dire intuitivement ou d'après un autre résultat bien connue , ou sans dimenstrasion .........

Est que c'est vrai que $H_k(X)=\text{Im} r_*\oplus \ker r_*$ ou c'est faux ? Merci beaucoup

yes it is true.

Ok, c'est une autre méthode et svp toute fonction $f: X\rightarrow Y$ injective verifie $\text{Im}~f=X$ ? merci

Attention, l'image de $f$ est une partie de $Y$ et non pas de $X$!

oui et donc pourquoi $\text{im}~i_*=H_k(A)$?

Si $f:N\to M $ est injective alors $N\simeq \text{Im(f)}$. en effet c'est un isomorphism.

je pense que ceci est vrai uniquement si $N\subset M$ ?

Sauf si je dit que $N=\text{Im}~f\oplus \ker f$ comme $f$ est injective $\ker f=\lbrace 0\rbrace$ et donc $N=\text{Im}~f$ qu'on dite vous ?

$N$ et $M$ deux modules, et $f:N\to M$ une application linéaire injective. $N'=\text{Im}(f)$ est un sous mudule de $M$, alors les deux modules $N$ et $N'$ sont isomoephe. mais il n y a aucune hypothèse que $N$ soit un sous module de $M$. mais on écrit $N\simeq N'$.

ou est ce que je peux trouver cette propriété je ne la connait pas

Je suis bete sorry on utilise le premier theorem d'isomorphisme that's all, $N/\ker f \simeq \text{Im}~f $ $f$ est injective donc $\ker f=\lbrace 0\rbrace $

Mais svp j'ai oublier $i_*$ est injective parce que cette une inclusion ?

parce que il est induit par une inclusion.

okkkkk thank you

je suis désolé, mais j'ai lu la réponse donné par Zach pouvez vous m’expliquer cette phrase "The same idea lets you write things in split short exact sequences as sums"

un coup d'oeil: Suites exactes courtes scindées

Oui mais que veut il dire ? il faut rendre tout les espaces en somme directe ? et la suite exacte courte vient uniquement du fait que $i_*$ est injective ?merci

rendre l'espace situé au milieux (de la suite) en somme direct. Mais a condition que la suite court soit exacte et scindée

La suite exacte longue existe toujours mais je ne comprend pas comment elle se transforme en suite exacte courte d'homologie ?

j'ai pas compris ce qu'il faut faire

ya l'axiome 4

donc la suite exacte longue existe toujours

mais pour qu'elle devienne courte j'ai pas compris comment

Donc j'ai la suite exacte longue suivante

$... H_{k+1}(X,A)\rightarrow H_k(A)\rightarrow H_k(X)\rightarrow H_k(X,A)\rightarrow H_{k-1}(A)...$

que nous apporte le fait que $i_*$ soit injective et que $H_k(X)=H_k(A)\oplus \ker r_*$ ?

S'il vous plait

en fait j'arrive pas a comprendre c'est quoi suite exacte scindée , exacte ok mains scindée non

@Hamou please

@Hamou vous etes la ?