For example, $A^{\mu} = \Lambda^{\mu}_{\,\,\,\nu} A'^{\nu}$ in the t-x plane reads as
$$ \begin{bmatrix} A^0 \\ A^1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma & \gamma v \\ \gamma v & \gamma \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A'^0 \\ A'^1 \end{bmatrix} $$
so that
\begin{align}
\begin{bmatrix} A_0 \\ A_1 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} A^0 \\ - A^1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A^0 \\ A^1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \gamma & \gamma v \\ \gamma v & \gamma \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A'^0 \\ A'^1 \end…